Theorem eliccxr 12817

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12813	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3962	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℝ^*cxr 10668  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-xr 10673  df-icc 12739

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  12834  xrge0nre  12835  isxmet2d  22931  stdbdxmet  23119  metds0  23452  metdstri  23453  metdsre  23455  metdseq0  23456  metdscnlem  23457  metnrmlem1a  23460  metnrmlem1  23461  oprpiece1res1  23549  xrge0infss  30478  xrge0mulgnn0  30671  xrge0omnd  30707  esumcvgre  31345  mblfinlem1  34923  iccintsng  41792  icoiccdif  41793  eliccnelico  41798  eliccelicod  41799  ge0xrre  41800  iblspltprt  42251  iblcncfioo  42256  itgspltprt  42257  gsumge0cl  42647  sge0tsms  42656