Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccxrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccxrd 40256
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccxrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccxrd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccxrd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd
StepHypRef Expression
1 eliccxrd.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 eliccxrd.5 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
31, 2jca 555 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐶𝐵))
4 eliccxrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliccxrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 eliccxrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
7 elicc4 12433 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
84, 5, 6, 7syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
93, 8mpbird 247 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  *cxr 10265  cle 10267  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-xr 10270  df-icc 12375
This theorem is referenced by:  inficc  40264  iccdificc  40269  sge0cl  41101  sge0p1  41134  sge0rpcpnf  41141  ovnsubaddlem1  41290  ovolval5lem1  41372
  Copyright terms: Public domain W3C validator