MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elico1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elico1 12157
Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elico1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 12120 . 2 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elixx1 12123 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  [,)cico 12116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-xr 10023  df-ico 12120
This theorem is referenced by:  elicod  12163  icogelb  12164  lbico1  12167  elico2  12176  icodisj  12236  ico01fl0  12557  addmodid  12655  leordtvallem2  20920  pnfnei  20929  mnfnei  20930  metustexhalf  22266  blval2  22272  metuel2  22275  iscfil2  22967  eliccelico  29375  elicoelioo  29376  xrdifh  29378  fsumrp0cl  29472  xrge0iifcnv  29753  esumpcvgval  29913  dnizeq0  32099  relowlssretop  32835  tan2h  33019  iocinico  37264  rfcnpre3  38661  icoltub  39130  icoiccdif  39148  iccelpart  40655  icceuelpart  40658  bgoldbtbndlem1  40970  bgoldbtbndlem2  40971  bgoldbtbndlem3  40972  bgoldbtbnd  40974
  Copyright terms: Public domain W3C validator