Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicoelioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicoelioo 29738
 Description: Relate elementhood to a closed-below, open-above interval with elementhood to the same open interval or to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
elicoelioo ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))

Proof of Theorem elicoelioo
StepHypRef Expression
1 simpl1 1146 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpl2 1147 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4 elico1 12300 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
54biimpa 502 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
65simp1d 1134 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
71, 2, 3, 6syl21anc 1406 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85simp2d 1135 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
91, 2, 3, 8syl21anc 1406 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴𝐶)
101, 2jca 555 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
11 simprr 813 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
125simp3d 1136 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
1310, 3, 12syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
14 elioo1 12297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1514notbid 307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1615biimpa 502 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
17 3anan32 1083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
1817notbii 309 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
19 imnan 437 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
2018, 19bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶))
2116, 20sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶))
2221imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵)) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
2310, 11, 7, 13, 22syl22anc 1408 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
24 xeqlelt 29736 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐶)))
2524biimpar 503 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 = 𝐶)
261, 7, 9, 23, 25syl22anc 1408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
2726ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 = 𝐶))
28 eqcom 2699 . . . . 5 (𝐴 = 𝐶𝐶 = 𝐴)
2927, 28syl6ib 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐴))
30 pm5.6 989 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴)))
3129, 30sylib 208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴)))
32 orcom 401 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3331, 32syl6ib 241 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))
34 simpr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
35 simpl1 1146 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3634, 35eqeltrd 2771 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
37 xrleid 12065 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
3835, 37syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐴)
3938, 34breqtrrd 4756 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
40 simpl3 1148 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
4134, 40eqbrtrd 4750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
42 simpl2 1147 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4335, 42, 4syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
4436, 39, 41, 43mpbir3and 1318 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
45 ioossico 12344 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
46 simpr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4745, 46sseldi 3675 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4844, 47jaodan 861 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4948ex 449 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)))
5033, 49impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1564   ∈ wcel 2071   class class class wbr 4728  (class class class)co 6733  ℝ*cxr 10154   < clt 10155   ≤ cle 10156  (,)cioo 12257  [,)cico 12259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-ioo 12261  df-ico 12263 This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  30185
 Copyright terms: Public domain W3C validator