Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elii1 22955
 Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Proof of Theorem elii1
StepHypRef Expression
1 0re 10252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 halfre 11458 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
31, 2elicc2i 12452 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)))
43simp1bi 1140 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
52a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
6 1re 10251 . . . . 5 1 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
83simp3bi 1142 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
9 halflt1 11462 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
102, 6, 9ltleii 10372 . . . . 5 (1 / 2) ≤ 1
1110a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ 1)
124, 5, 7, 8, 11letrd 10406 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ 1)
1312pm4.71ri 668 . 2 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))))
14 ancom 465 . . 3 ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
15 an32 874 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
16 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
173, 16bitri 264 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
1817anbi1i 733 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
191, 6elicc2i 12452 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
20 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
2119, 20bitri 264 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
2221anbi1i 733 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
2315, 18, 223bitr4i 292 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
2414, 23bitri 264 . 2 ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
2513, 24bitri 264 1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   ≤ cle 10287   / cdiv 10896  2c2 11282  [,]cicc 12391 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-icc 12395 This theorem is referenced by:  phtpycc  23011  pcoval1  23033  copco  23038  pcohtpylem  23039  pcopt  23042  pcopt2  23043  pcorevlem  23046
 Copyright terms: Public domain W3C validator