Theorem elii1 22490

Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elii1	⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Proof of Theorem elii1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9897	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		halfre 11096	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 12069	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
4	3	simp1bi 1069	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
6		1re 9896	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
8	3	simp3bi 1071	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
9		halflt1 11100	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
10	2, 6, 9	ltleii 10012	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ 1)
12	4, 5, 7, 8, 11	letrd 10046	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ 1)
13	12	pm4.71ri 663	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))))
14		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
15		an32 835	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
16		df-3an 1033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
17	3, 16	bitri 263	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
18	17	anbi1i 727	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
19	1, 6	elicc2i 12069	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
20		df-3an 1033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
21	19, 20	bitri 263	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
22	21	anbi1i 727	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
23	15, 18, 22	3bitr4i 291	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
24	14, 23	bitri 263	. 2 ⊢ ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
25	13, 24	bitri 263	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  ℝcr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   ≤ cle 9932   / cdiv 10536  2c2 10920  [,]cicc 12008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-icc 12012

This theorem is referenced by:  phtpycc  22546  pcoval1  22569  copco  22574  pcohtpylem  22575  pcopt  22578  pcopt2  22579  pcorevlem  22582