MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elii2 22474
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1))

Proof of Theorem elii2
StepHypRef Expression
1 0re 9896 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
31, 2elicc2i 12066 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
43simp1bi 1068 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
54adantr 479 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
6 halfre 11093 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
7 letric 9988 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ (1 / 2) ∨ (1 / 2) ≤ 𝑋))
84, 6, 7sylancl 692 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝑋 ≤ (1 / 2) ∨ (1 / 2) ≤ 𝑋))
98orcanai 949 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
103simp3bi 1070 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ≤ 1)
1110adantr 479 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ≤ 1)
126, 2elicc2i 12066 . 2 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
135, 9, 11, 12syl3anbrc 1238 1 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  cle 9931   / cdiv 10533  2c2 10917  [,]cicc 12005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-2 10926  df-icc 12009
This theorem is referenced by:  phtpycc  22529  copco  22557  pcohtpylem  22558  pcopt  22561  pcopt2  22562  pcoass  22563  pcorevlem  22565
  Copyright terms: Public domain W3C validator