MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elimge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elimge0 11467
Description: Hypothesis for weak deduction theorem to eliminate 0 ≤ 𝐴. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.)
Assertion
Ref Expression
elimge0 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)

Proof of Theorem elimge0
StepHypRef Expression
1 breq2 5061 . 2 (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
2 breq2 5061 . 2 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
3 0re 10631 . . 3 0 ∈ ℝ
43leidi 11162 . 2 0 ≤ 0
51, 2, 4elimhyp 4526 1 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ifcif 4463   class class class wbr 5057  0cc0 10525  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator