MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioc2 12274
Description: Membership in an open-below, closed-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 30-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elioc2
StepHypRef Expression
1 rexr 10123 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elioc1 12255 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
31, 2sylan2 490 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
4 mnfxr 10134 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
6 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 1087 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnfle 12007 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
98ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ≤ 𝐴)
10 simpr2 1088 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrlelttrd 12029 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
121ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 10130 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 1089 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
16 ltpnf 11992 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1716ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrlelttrd 12029 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 12037 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 977 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1261 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2322ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
24 rexr 10123 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1267 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2623, 25impbid1 215 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
273, 26bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,]cioc 12214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioc 12218
This theorem is referenced by:  iocssre  12291  ef01bndlem  14958  sin01bnd  14959  cos01bnd  14960  cos1bnd  14961  sinltx  14963  sin01gt0  14964  cos01gt0  14965  sin02gt0  14966  sincos1sgn  14967  sincos2sgn  14968  icoopnst  22785  iocopnst  22786  ismbf3d  23466  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem3  24144  pilem2  24251  sinhalfpilem  24260  sincosq1lem  24294  coseq0negpitopi  24300  tangtx  24302  sincos4thpi  24310  efif1olem1  24333  efif1olem2  24334  efif1o  24337  efifo  24338  ellogrn  24351  logimclad  24364  ellogdm  24430  logdmnrp  24432  dvloglem  24439  dvlog2lem  24443  asinneg  24658  atans2  24703  ressatans  24706  abvcxp  25349  ostth2  25371  xrge0iifcv  30108  xrge0iifiso  30109  xrge0iifhom  30111  sinccvglem  31692  bj-pinftyccb  33238  bj-pinftynminfty  33244  dvasin  33626  areacirclem4  33633  gtnelioc  40030  limcicciooub  40187  fourierdlem4  40646  fourierdlem26  40668  fourierdlem33  40675  fourierdlem37  40679  fourierdlem65  40706  fourierdlem79  40720  fouriersw  40766
  Copyright terms: Public domain W3C validator