MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioc2 12787
Description: Membership in an open-below, closed-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 30-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elioc2
StepHypRef Expression
1 rexr 10675 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elioc1 12768 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
31, 2sylan2 592 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
4 mnfxr 10686 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
6 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 1186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnfle 12517 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
98ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ≤ 𝐴)
10 simpr2 1187 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrlelttrd 12541 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
121ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 10683 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 1188 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
16 ltpnf 12503 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1716ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrlelttrd 12541 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 12549 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 709 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1120 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2322ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
24 rexr 10675 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1144 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2623, 25impbid1 226 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
273, 26bitrd 280 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  (,]cioc 12727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioc 12731
This theorem is referenced by:  iocssre  12804  ef01bndlem  15525  sin01bnd  15526  cos01bnd  15527  cos1bnd  15528  sinltx  15530  sin01gt0  15531  cos01gt0  15532  sin02gt0  15533  sincos1sgn  15534  sincos2sgn  15535  icoopnst  23470  iocopnst  23471  ismbf3d  24182  aaliou3lem2  24859  aaliou3lem3  24860  pilem2  24967  sinhalfpilem  24976  sincosq1lem  25010  coseq0negpitopi  25016  tangtx  25018  sincos4thpi  25026  efif1olem1  25053  efif1olem2  25054  efif1o  25057  efifo  25058  ellogrn  25070  logimclad  25083  ellogdm  25149  logdmnrp  25151  dvloglem  25158  dvlog2lem  25162  asinneg  25391  atans2  25436  ressatans  25439  abvcxp  26118  ostth2  26140  xrge0iifcv  31076  xrge0iifiso  31077  xrge0iifhom  31079  sinccvglem  32812  bj-pinftyccb  34395  bj-pinftynminfty  34401  dvasin  34859  areacirclem4  34866  gtnelioc  41641  limcicciooub  41794  fourierdlem4  42273  fourierdlem26  42295  fourierdlem33  42302  fourierdlem37  42306  fourierdlem65  42333  fourierdlem79  42347  fouriersw  42393  eenglngeehlnmlem1  44652  eenglngeehlnmlem2  44653
  Copyright terms: Public domain W3C validator