Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocd 39533
Description: Membership in a left open, right closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliocd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliocd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliocd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliocd.altc (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliocd.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliocd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem eliocd
StepHypRef Expression
1 eliocd.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2 eliocd.altc . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliocd.cleb . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliocd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliocd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioc1 12202 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1243 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  (,]cioc 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-xr 10063  df-ioc 12165
This theorem is referenced by:  iocopn  39549  eliccelioc  39550  iccdificc  39569  ressiocsup  39584  iooiinioc  39586  preimaiocmnf  39591  ioccncflimc  39861  fourierdlem41  40128  fourierdlem46  40132  fourierdlem48  40134  fourierdlem49  40135  fourierdlem51  40137  fourierswlem  40210  smfsuplem1  40780
  Copyright terms: Public domain W3C validator