Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocre 39543
Description: A member of a left open, right closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliocre ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 12177 . . . . . . 7 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
21elixx3g 12185 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
32biimpi 206 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
43simpld 475 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
54simp3d 1074 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65adantl 482 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 simpl 473 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 mnfxr 10093 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
104simp1d 1072 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11 mnfle 11966 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
133simprd 479 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
1413simpld 475 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
159, 10, 5, 12, 14xrlelttrd 11988 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
1615adantl 482 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
1713simprd 479 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶𝐵)
1817adantl 482 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
19 xrre 11997 . 2 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
206, 7, 16, 18, 19syl22anc 1326 1 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037  wcel 1989   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  cr 9932  -∞cmnf 10069  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072  (,]cioc 12173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-ioc 12177
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator