MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo2 12429
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 12421 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eleq2d 2825 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}))
3 breq2 4808 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐶))
4 breq1 4807 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
53, 4anbi12d 749 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
65elrab 3504 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
7 3anass 1081 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
86, 7bitr4i 267 . 2 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
92, 8syl6bb 276 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  *cxr 10285   < clt 10286  (,)cioo 12388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-ioo 12392
This theorem is referenced by:  eliooord  12446  elioopnf  12480  elioomnf  12481  difreicc  12517  xov1plusxeqvd  12531  tanhbnd  15110  bl2ioo  22816  xrtgioo  22830  zcld  22837  iccntr  22845  icccmplem2  22847  reconnlem1  22850  reconnlem2  22851  icoopnst  22959  iocopnst  22960  ivthlem3  23442  ovolicc2lem1  23505  ovolicc2lem5  23509  ioombl1lem4  23549  mbfmax  23635  itg2monolem1  23736  itg2monolem3  23738  dvferm1lem  23966  dvferm2lem  23968  dvlip2  23977  dvivthlem1  23990  lhop1lem  23995  lhop  23998  dvcnvrelem1  23999  dvcnvre  24001  itgsubst  24031  sincosq1sgn  24470  sincosq2sgn  24471  sincosq3sgn  24472  sincosq4sgn  24473  coseq00topi  24474  tanabsge  24478  sinq12gt0  24479  sinq12ge0  24480  cosq14gt0  24482  sincos6thpi  24487  sineq0  24493  cosordlem  24497  tanord1  24503  tanord  24504  argregt0  24576  argimgt0  24578  argimlt0  24579  dvloglem  24614  logf1o2  24616  efopnlem2  24623  asinsinlem  24838  acoscos  24840  atanlogsublem  24862  atantan  24870  atanbndlem  24872  atanbnd  24873  atan1  24875  scvxcvx  24932  basellem1  25027  pntibndlem1  25498  pntibnd  25502  pntlemc  25504  padicabvf  25540  padicabvcxp  25541  dfrp2  29862  cnre2csqlem  30286  ivthALT  32657  iooelexlt  33539  itg2gt0cn  33796  iblabsnclem  33804  dvasin  33827  areacirclem1  33831  areacirc  33836  cvgdvgrat  39032  radcnvrat  39033  sineq0ALT  39690  ioogtlb  40238  eliood  40241  eliooshift  40250  iooltub  40256  limciccioolb  40374  limcicciooub  40390  cncfioobdlem  40630  ditgeqiooicc  40697  dirkercncflem1  40841  dirkercncflem4  40844  fourierdlem10  40855  fourierdlem32  40877  fourierdlem62  40906  fourierdlem81  40925  fourierdlem82  40926  fourierdlem93  40937  fourierdlem104  40948  fourierdlem111  40955
  Copyright terms: Public domain W3C validator