Theorem elioo2 12778

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 12770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2898	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5069	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5068	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3679	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1091	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 280	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	syl6bb 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674  (,)cioo 12737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-ioo 12741

This theorem is referenced by:  eliooord  12795  elioopnf  12830  elioomnf  12831  difreicc  12869  xov1plusxeqvd  12883  tanhbnd  15513  bl2ioo  23399  xrtgioo  23413  zcld  23420  iccntr  23428  icccmplem2  23430  reconnlem1  23433  reconnlem2  23434  icoopnst  23542  iocopnst  23543  ivthlem3  24053  ovolicc2lem1  24117  ovolicc2lem5  24121  ioombl1lem4  24161  mbfmax  24249  itg2monolem1  24350  itg2monolem3  24352  dvferm1lem  24580  dvferm2lem  24582  dvlip2  24591  dvivthlem1  24604  lhop1lem  24609  lhop  24612  dvcnvrelem1  24613  dvcnvre  24615  itgsubst  24645  sincosq1sgn  25083  sincosq2sgn  25084  sincosq3sgn  25085  sincosq4sgn  25086  coseq00topi  25087  tanabsge  25091  sinq12gt0  25092  sinq12ge0  25093  cosq14gt0  25095  sincos6thpi  25100  sineq0  25108  cos02pilt1  25110  cosq34lt1  25111  cosordlem  25114  tanord1  25120  tanord  25121  argregt0  25192  argimgt0  25194  argimlt0  25195  dvloglem  25230  logf1o2  25232  efopnlem2  25239  asinsinlem  25468  acoscos  25470  atanlogsublem  25492  atantan  25500  atanbndlem  25502  atanbnd  25503  atan1  25505  scvxcvx  25562  basellem1  25657  pntibndlem1  26164  pntibnd  26168  pntlemc  26170  padicabvf  26206  padicabvcxp  26207  dfrp2  30490  cnre2csqlem  31153  ivthALT  33683  iooelexlt  34642  itg2gt0cn  34946  iblabsnclem  34954  dvasin  34977  areacirclem1  34981  areacirc  34986  cvgdvgrat  40643  radcnvrat  40644  sineq0ALT  41269  ioogtlb  41768  eliood  41771  eliooshift  41780  iooltub  41784  limciccioolb  41900  limcicciooub  41916  cncfioobdlem  42177  ditgeqiooicc  42243  dirkercncflem1  42387  dirkercncflem4  42390  fourierdlem10  42401  fourierdlem32  42423  fourierdlem62  42452  fourierdlem81  42471  fourierdlem82  42472  fourierdlem93  42483  fourierdlem104  42494  fourierdlem111  42501