MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo4g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo4g 12219
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elioo4g (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo4g
StepHypRef Expression
1 eliooxr 12217 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2 elioore 12190 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
31, 2jca 554 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
4 df-3an 1038 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
53, 4sylibr 224 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ))
6 eliooord 12218 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
75, 6jca 554 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
8 rexr 10070 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
983anim3i 1248 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
109anim1i 591 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
11 elioo3g 12189 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1210, 11sylibr 224 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
137, 12impbii 199 1 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  *cxr 10058   < clt 10059  (,)cioo 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-ioo 12164
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  39869  fourierdlem89  40175  fourierdlem90  40176  fourierdlem91  40177  fourierdlem100  40186
  Copyright terms: Public domain W3C validator