Theorem eliood 41780

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 12782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1338	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  (,)cioo 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ioo 12745

This theorem is referenced by:  ioomidp  41797  iocopn  41803  iooshift  41805  icoopn  41808  qinioo  41818  qelioo  41829  icomnfinre  41835  ressioosup  41838  ressiooinf  41840  uzubioo  41850  limciccioolb  41909  limcicciooub  41925  lptre2pt  41928  limcresiooub  41930  limcresioolb  41931  limcleqr  41932  xlimxrre  42119  cncfiooiccre  42185  dvbdfbdioolem2  42221  dvbdfbdioo  42222  ioodvbdlimc1lem1  42223  ioodvbdlimc1lem2  42224  ioodvbdlimc2lem  42226  itgioocnicc  42269  dirkercncflem1  42395  dirkercncflem4  42398  fourierdlem10  42409  fourierdlem20  42419  fourierdlem25  42424  fourierdlem27  42426  fourierdlem28  42427  fourierdlem31  42430  fourierdlem32  42431  fourierdlem33  42432  fourierdlem40  42439  fourierdlem41  42440  fourierdlem43  42442  fourierdlem44  42443  fourierdlem46  42444  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem57  42455  fourierdlem59  42457  fourierdlem60  42458  fourierdlem61  42459  fourierdlem62  42460  fourierdlem64  42462  fourierdlem68  42466  fourierdlem73  42471  fourierdlem74  42472  fourierdlem75  42473  fourierdlem76  42474  fourierdlem78  42476  fourierdlem81  42479  fourierdlem82  42480  fourierdlem84  42482  fourierdlem89  42487  fourierdlem90  42488  fourierdlem91  42489  fourierdlem92  42490  fourierdlem93  42491  fourierdlem97  42495  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem107  42505  fourierdlem109  42507  fourierdlem111  42509  fourierdlem112  42510  sqwvfourb  42521  fourierswlem  42522  fouriersw  42523  qndenserrnbllem  42586  ioorrnopnlem  42596  ioorrnopnxrlem  42598  hspdifhsp  42905  hspmbllem2  42916  pimiooltgt  42996  pimrecltneg  43008  smfresal  43070  smfmullem2  43074