Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliood Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliood 39523
Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliood.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4 (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliood.5 (𝜑𝐶 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliood (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood
StepHypRef Expression
1 eliood.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliood.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliood.5 . 2 (𝜑𝐶 < 𝐵)
4 eliood.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliood.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioo2 12201 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1243 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  *cxr 10058   < clt 10059  (,)cioo 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-ioo 12164
This theorem is referenced by:  ioomidp  39543  iocopn  39549  iooshift  39551  icoopn  39554  qinioo  39565  qelioo  39576  icomnfinre  39582  ressioosup  39585  ressiooinf  39587  uzubioo  39597  limciccioolb  39653  limcicciooub  39669  lptre2pt  39672  limcresiooub  39674  limcresioolb  39675  limcleqr  39676  cncfiooiccre  39871  dvbdfbdioolem2  39907  dvbdfbdioo  39908  ioodvbdlimc1lem1  39909  ioodvbdlimc1lem2  39910  ioodvbdlimc2lem  39912  itgioocnicc  39956  dirkercncflem1  40083  dirkercncflem4  40086  fourierdlem10  40097  fourierdlem20  40107  fourierdlem25  40112  fourierdlem27  40114  fourierdlem28  40115  fourierdlem31  40118  fourierdlem32  40119  fourierdlem33  40120  fourierdlem40  40127  fourierdlem41  40128  fourierdlem43  40130  fourierdlem44  40131  fourierdlem46  40132  fourierdlem48  40134  fourierdlem49  40135  fourierdlem57  40143  fourierdlem59  40145  fourierdlem60  40146  fourierdlem61  40147  fourierdlem62  40148  fourierdlem64  40150  fourierdlem68  40154  fourierdlem73  40159  fourierdlem74  40160  fourierdlem75  40161  fourierdlem76  40162  fourierdlem78  40164  fourierdlem81  40167  fourierdlem82  40168  fourierdlem84  40170  fourierdlem89  40175  fourierdlem90  40176  fourierdlem91  40177  fourierdlem92  40178  fourierdlem93  40179  fourierdlem97  40183  fourierdlem103  40189  fourierdlem104  40190  fourierdlem107  40193  fourierdlem109  40195  fourierdlem111  40197  fourierdlem112  40198  sqwvfourb  40209  fourierswlem  40210  fouriersw  40211  qndenserrnbllem  40277  ioorrnopnlem  40287  ioorrnopnxrlem  40289  hspdifhsp  40593  hspmbllem2  40604  pimiooltgt  40684  pimrecltneg  40696  smfresal  40758  smfmullem2  40762
  Copyright terms: Public domain W3C validator