MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioomnf 12210
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioomnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem elioomnf
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10040 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 elioo2 12158 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 705 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 an32 838 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
5 df-3an 1038 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴))
6 mnflt 11901 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
76adantr 481 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → -∞ < 𝐵)
87pm4.71i 663 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
94, 5, 83bitr4i 292 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴))
103, 9syl6bb 276 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  (,)cioo 12117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ioo 12121
This theorem is referenced by:  bndth  22665  mbfmulc2lem  23320  mbfposr  23325  ismbf3d  23327  mbfi1fseqlem4  23391  itg2monolem1  23423  dvne0  23678  mbfposadd  33089  itg2addnclem2  33094  iblabsnclem  33105  ftc1anclem1  33117  ftc1anclem6  33122  rfcnpre2  38673
  Copyright terms: Public domain W3C validator