Theorem eliooord 12799

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 12798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 12782	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678  (,)cioo 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-ioo 12745

This theorem is referenced by:  elioo4g  12800  iccssioo2  12812  qdensere  23381  zcld  23424  reconnlem2  23438  xrge0tsms  23445  ovolioo  24172  ioorcl2  24176  itgsplitioo  24441  dvferm1lem  24584  dvferm2lem  24586  dvferm  24588  dvlt0  24605  dvivthlem1  24608  lhop1lem  24613  lhop1  24614  lhop2  24615  dvcvx  24620  ftc1lem4  24639  itgsubstlem  24648  itgsubst  24649  pilem2  25043  pilem3  25044  pigt2lt4  25045  tangtx  25094  tanabsge  25095  cosne0  25117  tanord  25125  tanregt0  25126  argimlt0  25199  logneg2  25201  divlogrlim  25221  logno1  25222  logcnlem3  25230  dvloglem  25234  logf1o2  25236  loglesqrt  25342  asinsin  25473  acoscos  25474  atanlogaddlem  25494  atanlogsub  25497  atantan  25504  atanbndlem  25506  scvxcvx  25566  lgamgulmlem2  25610  basellem8  25668  vmalogdivsum2  26117  vmalogdivsum  26118  2vmadivsumlem  26119  chpdifbndlem1  26132  selberg3lem1  26136  selberg3  26138  selberg4lem1  26139  selberg4  26140  selberg3r  26148  selberg4r  26149  selberg34r  26150  pntrlog2bndlem1  26156  pntrlog2bndlem2  26157  pntrlog2bndlem3  26158  pntrlog2bndlem4  26159  pntrlog2bndlem5  26160  pntrlog2bndlem6a  26161  pntrlog2bndlem6  26162  pntrlog2bnd  26163  pntpbnd1a  26164  pntpbnd1  26165  pntpbnd2  26166  pntpbnd  26167  pntibndlem2  26170  pntibndlem3  26171  pntibnd  26172  pntlemd  26173  pntlemb  26176  pntlemr  26181  pnt  26193  padicabv  26209  xrge0tsmsd  30696  fct2relem  31872  logdivsqrle  31925  knoppndvlem3  33857  iooelexlt  34647  relowlssretop  34648  poimir  34929  itg2gt0cn  34951  ftc1cnnclem  34969  radcnvrat  40652  cncfiooicclem1  42182  itgioocnicc  42268  iblcncfioo  42269  amgmwlem  44910