MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooord 12182
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 12181 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
2 elioo2 12165 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
43ibi 256 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
5 3simpc 1058 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
64, 5syl 17 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9886  *cxr 10024   < clt 10025  (,)cioo 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-ioo 12128
This theorem is referenced by:  elioo4g  12183  iccssioo2  12195  qdensere  22492  zcld  22535  reconnlem2  22549  xrge0tsms  22556  ovolioo  23255  ioorcl2  23259  itgsplitioo  23523  dvferm1lem  23664  dvferm2lem  23666  dvferm  23668  dvlt0  23685  dvivthlem1  23688  lhop1lem  23693  lhop1  23694  lhop2  23695  dvcvx  23700  ftc1lem4  23719  itgsubstlem  23728  itgsubst  23729  pilem2  24123  pilem3  24124  pigt2lt4  24125  tangtx  24174  tanabsge  24175  cosne0  24193  tanord  24201  tanregt0  24202  argimlt0  24276  logneg2  24278  divlogrlim  24294  logno1  24295  logcnlem3  24303  dvloglem  24307  logf1o2  24309  loglesqrt  24412  asinsin  24532  acoscos  24533  atanlogaddlem  24553  atanlogsub  24556  atantan  24563  atanbndlem  24565  scvxcvx  24625  lgamgulmlem2  24669  basellem8  24727  vmalogdivsum2  25140  vmalogdivsum  25141  2vmadivsumlem  25142  chpdifbndlem1  25155  selberg3lem1  25159  selberg3  25161  selberg4lem1  25162  selberg4  25163  selberg3r  25171  selberg4r  25172  selberg34r  25173  pntrlog2bndlem1  25179  pntrlog2bndlem2  25180  pntrlog2bndlem3  25181  pntrlog2bndlem4  25182  pntrlog2bndlem5  25183  pntrlog2bndlem6a  25184  pntrlog2bndlem6  25185  pntrlog2bnd  25186  pntpbnd1a  25187  pntpbnd1  25188  pntpbnd2  25189  pntpbnd  25190  pntibndlem2  25193  pntibndlem3  25194  pntibnd  25195  pntlemd  25196  pntlemb  25199  pntlemr  25204  pnt  25216  padicabv  25232  xrge0tsmsd  29588  knoppndvlem3  32174  iooelexlt  32869  relowlssretop  32870  poimir  33101  itg2gt0cn  33124  ftc1cnnclem  33142  radcnvrat  38022  cncfiooicclem1  39432  itgioocnicc  39521  iblcncfioo  39522  amgmwlem  41872
  Copyright terms: Public domain W3C validator