MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioore 12144
Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elioore (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore
StepHypRef Expression
1 elioo3g 12143 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2 3ancomb 1045 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
3 xrre2 11943 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
42, 3sylanb 489 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
51, 4sylbi 207 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  *cxr 10018   < clt 10019  (,)cioo 12114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ioo 12118
This theorem is referenced by:  iooval2  12147  elioo4g  12173  ioossre  12174  zltaddlt1le  12263  tgioo  22502  zcld  22519  ioorcl2  23241  lhop2  23677  dvcvx  23682  pilem2  24105  pilem3  24106  pire  24109  tanrpcl  24155  tangtx  24156  tanabsge  24157  sinq34lt0t  24160  cosq14gt0  24161  sineq0  24172  cosne0  24175  tanord  24183  divlogrlim  24276  logno1  24277  logccv  24304  angpieqvd  24453  asinsin  24514  reasinsin  24518  scvxcvx  24607  basellem3  24704  basellem8  24709  vmalogdivsum2  25122  vmalogdivsum  25123  2vmadivsumlem  25124  selberg3lem1  25141  selberg3  25143  selberg4lem1  25144  selberg4  25145  selberg3r  25153  selberg4r  25154  selberg34r  25155  pntrlog2bndlem1  25161  pntrlog2bndlem2  25162  pntrlog2bndlem3  25163  pntrlog2bndlem4  25164  pntrlog2bndlem5  25165  pntrlog2bndlem6a  25166  pntrlog2bndlem6  25167  pntpbnd  25172  pntibndlem3  25176  pntibnd  25177  knoppndvlem3  32139  iooelexlt  32834  relowlssretop  32835  relowlpssretop  32836  tan2h  33019  itg2gt0cn  33083  itggt0cn  33100  ftc1cnnclem  33101  ftc1cnnc  33102  ftc1anclem7  33109  ftc1anclem8  33110  ftc1anc  33111  dvasin  33114  areacirclem1  33118  areacirc  33123  cvgdvgrat  37980  iooabslt  39119  iocopn  39144  iooshift  39146  icoopn  39149  iooiinicc  39167  elioored  39174  iooiinioc  39181  islptre  39242  limciccioolb  39244  limcicciooub  39260  lptre2pt  39263  sinaover2ne0  39369  icccncfext  39391  cncfiooicclem1  39397  dvbdfbdioolem2  39437  itgcoscmulx  39479  iblcncfioo  39488  wallispilem1  39576  dirkeritg  39613  dirkercncflem2  39615  fourierdlem27  39645  fourierdlem28  39646  fourierdlem31  39649  fourierdlem32  39650  fourierdlem33  39651  fourierdlem39  39657  fourierdlem40  39658  fourierdlem41  39659  fourierdlem47  39664  fourierdlem48  39665  fourierdlem49  39666  fourierdlem56  39673  fourierdlem57  39674  fourierdlem59  39676  fourierdlem60  39677  fourierdlem61  39678  fourierdlem62  39679  fourierdlem64  39681  fourierdlem68  39685  fourierdlem72  39689  fourierdlem73  39690  fourierdlem74  39691  fourierdlem75  39692  fourierdlem76  39693  fourierdlem78  39695  fourierdlem81  39698  fourierdlem84  39701  fourierdlem89  39706  fourierdlem90  39707  fourierdlem91  39708  fourierdlem92  39709  fourierdlem93  39710  fourierdlem97  39714  fourierdlem100  39717  fourierdlem101  39718  fourierdlem103  39720  fourierdlem104  39721  fourierdlem111  39728  fourierdlem112  39729  sqwvfoura  39739  sqwvfourb  39740  fouriersw  39742  etransclem23  39768  etransclem46  39791  smfaddlem1  40265  amgmwlem  41825
  Copyright terms: Public domain W3C validator