MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioore 12756
Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elioore (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore
StepHypRef Expression
1 elioo3g 12755 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2 3ancomb 1091 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
3 xrre2 12551 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
42, 3sylanb 581 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
51, 4sylbi 218 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  (,)cioo 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  iooval2  12759  elioo4g  12785  ioossre  12786  zltaddlt1le  12878  tgioo  23331  zcld  23348  ioorcl2  24100  lhop2  24539  dvcvx  24544  pilem2  24967  pilem3  24968  pire  24971  tanrpcl  25017  tangtx  25018  tanabsge  25019  sinq34lt0t  25022  cosq14gt0  25023  sineq0  25036  cos02pilt1  25038  cosne0  25041  tanord  25049  divlogrlim  25145  logno1  25146  logccv  25173  angpieqvd  25336  asinsin  25397  reasinsin  25401  scvxcvx  25490  basellem3  25587  basellem8  25592  vmalogdivsum2  26041  vmalogdivsum  26042  2vmadivsumlem  26043  selberg3lem1  26060  selberg3  26062  selberg4lem1  26063  selberg4  26064  selberg3r  26072  selberg4r  26073  selberg34r  26074  pntrlog2bndlem1  26080  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem3  26082  pntrlog2bndlem4  26083  pntrlog2bndlem5  26084  pntrlog2bndlem6a  26085  pntrlog2bndlem6  26086  pntpbnd  26091  pntibndlem3  26095  pntibnd  26096  knoppndvlem3  33750  iooelexlt  34525  relowlssretop  34526  relowlpssretop  34527  tan2h  34765  itg2gt0cn  34828  itggt0cn  34845  ftc1cnnclem  34846  ftc1cnnc  34847  ftc1anclem7  34854  ftc1anclem8  34855  ftc1anc  34856  dvasin  34859  areacirclem1  34863  areacirc  34868  cvgdvgrat  40522  iooabslt  41650  iocopn  41672  iooshift  41674  icoopn  41677  iooiinicc  41694  elioored  41701  iooiinioc  41708  islptre  41776  limciccioolb  41778  limcicciooub  41794  lptre2pt  41797  xlimxrre  41988  sinaover2ne0  42025  icccncfext  42046  cncfiooicclem1  42052  dvbdfbdioolem2  42090  itgcoscmulx  42130  iblcncfioo  42139  wallispilem1  42227  dirkeritg  42264  dirkercncflem2  42266  fourierdlem27  42296  fourierdlem28  42297  fourierdlem31  42300  fourierdlem32  42301  fourierdlem33  42302  fourierdlem39  42308  fourierdlem40  42309  fourierdlem41  42310  fourierdlem47  42315  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem56  42324  fourierdlem57  42325  fourierdlem59  42327  fourierdlem60  42328  fourierdlem61  42329  fourierdlem62  42330  fourierdlem64  42332  fourierdlem68  42336  fourierdlem72  42340  fourierdlem73  42341  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem76  42344  fourierdlem78  42346  fourierdlem81  42349  fourierdlem84  42352  fourierdlem89  42357  fourierdlem90  42358  fourierdlem91  42359  fourierdlem92  42360  fourierdlem93  42361  fourierdlem97  42365  fourierdlem100  42368  fourierdlem101  42369  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  fourierdlem111  42379  fourierdlem112  42380  sqwvfoura  42390  sqwvfourb  42391  fouriersw  42393  etransclem23  42419  etransclem46  42442  smfaddlem1  42916  amgmwlem  44831
  Copyright terms: Public domain W3C validator