MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooxr 12783
Description: A nonempty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
eliooxr (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))

Proof of Theorem eliooxr
StepHypRef Expression
1 ne0i 4297 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵(,)𝐶) ≠ ∅)
2 ndmioo 12753 . . 3 (¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
32necon1ai 3040 . 2 ((𝐵(,)𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
41, 3syl 17 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  (class class class)co 7145  *cxr 10662  (,)cioo 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-xr 10667  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  eliooord  12784  elioo4g  12785  ioorebas  12827  tgioo  23331  ioorcl2  24100  ioorinv2  24103  fct2relem  31767  iooelexlt  34525
  Copyright terms: Public domain W3C validator