Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliunov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliunov2 37438
Description: Membership in the indexed union over operator values where the index varies the second input is equivalent to the existence of at least one index such that the the element is a member of that operator value. Generalized from dfrtrclrec2 13726. (Contributed by RP, 1-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunov2.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
Assertion
Ref Expression
eliunov2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁,   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑛,𝑟)   𝑉(𝑛,𝑟)   𝑋(𝑟)

Proof of Theorem eliunov2
StepHypRef Expression
1 elex 3203 . . . . 5 (𝑅𝑈𝑅 ∈ V)
21adantr 481 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑅 ∈ V)
3 simpr 477 . . . . 5 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
4 ovex 6633 . . . . . 6 (𝑅 𝑛) ∈ V
54rgenw 2924 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V
6 iunexg 7092 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
73, 5, 6sylancl 693 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
8 oveq1 6612 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 𝑛) = (𝑅 𝑛))
98iuneq2d 4518 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
10 eqid 2626 . . . . 5 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
119, 10fvmptg 6238 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V) → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
122, 7, 11syl2anc 692 . . 3 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
13 eleq2 2693 . . . 4 (((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ 𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛)))
14 eliun 4495 . . . . 5 (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))
1514a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1613, 15sylan9bb 735 . . 3 ((((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∧ (𝑅𝑈𝑁𝑉)) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1712, 16mpancom 702 . 2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
18 mptiunov2.def . . 3 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
19 fveq1 6149 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝐶𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅))
2019eleq2d 2689 . . . . 5 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅)))
2120bibi1d 333 . . . 4 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → ((𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)) ↔ (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2221imbi2d 330 . . 3 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))))
2318, 22ax-mp 5 . 2 (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2417, 23mpbir 221 1 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191   ciun 4490  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608
This theorem is referenced by:  eltrclrec  37439  elrtrclrec  37440  briunov2  37441  eliunov2uz  37458  ov2ssiunov2  37459
  Copyright terms: Public domain W3C validator