MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimc 24398
Description: Value of the limit predicate. 𝐶 is the limit of the function 𝐹 at 𝐵 if the function 𝐺, formed by adding 𝐵 to the domain of 𝐹 and setting it to 𝐶, is continuous at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcval.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcval.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
ellimc.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑧)))
ellimc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ellimc (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem ellimc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimc.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 ellimc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 ellimc.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 limcval.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
5 limcval.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
64, 5limcfval 24397 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 lim 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ))
71, 2, 3, 6syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 lim 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ))
87simpld 495 . . 3 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)})
98eleq2d 2895 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)}))
10 ellimc.g . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑧)))
114, 5, 10limcvallem 24396 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
121, 2, 3, 11syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
13 ifeq1 4467 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑧)))
1413mpteq2dv 5153 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑧))))
1514, 10syl6eqr 2871 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) = 𝐺)
1615eleq1d 2894 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
1716elab3g 3670 . . 3 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
1812, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
199, 18bitrd 280 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  cun 3931  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473   CnP ccnp 21761   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391
This theorem is referenced by:  limcdif  24401  ellimc2  24402  limcmpt  24408  limcres  24411  cnplimc  24412  limccnp  24416  dirkercncflem2  42266  fourierdlem93  42361  fourierdlem101  42369
  Copyright terms: Public domain W3C validator