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Theorem ellimcabssub0 39250
Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimcabssub0.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
ellimcabssub0.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
ellimcabssub0.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ellimcabssub0 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimcabssub0.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 0cnd 9977 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
31, 22thd 255 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4 ellimcabssub0.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
51adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 10336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
7 ellimcabssub0.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
86, 7fmptd 6340 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
98ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
109subid1d 10325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) − 0) = (𝐺𝑧))
11 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
12 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
13 csbov1g 6643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
16 sban 2398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴))
17 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝜑
1817sbf 2379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝜑𝜑)
19 clelsb3 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴𝑧𝐴)
2018, 19anbi12i 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
2116, 20bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
224nfth 1724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322sbf 2379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
24 sbim 2394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2523, 24sylbb1 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2621, 25syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
274, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
28 sbsbc 3421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
29 sbcel1g 3959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
3012, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
3128, 30bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
3227, 31sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
331adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3432, 33subcld 10336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶) ∈ ℂ)
3515, 34eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ)
367fvmpts 6242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
3711, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
38 ellimcabssub0.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
3938fvmpts 6242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4011, 32, 39syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4140oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
4241, 14syl6reqr 2674 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
4310, 37, 423eqtrrd 2660 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐺𝑧) − 0))
4443fveq2d 6152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 0)))
4544breq1d 4623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))
4645imbi2d 330 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4746ralbidva 2979 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4847rexbidv 3045 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4948ralbidv 2980 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
503, 49anbi12d 746 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
514, 38fmptd 6340 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
52 ellimcabssub0.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
53 ellimcabssub0.p . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5451, 52, 53ellimc3 23549 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
558, 52, 53ellimc3 23549 . 2 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
5650, 54, 553bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  [wsb 1877  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  [wsbc 3417  csb 3514  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880   < clt 10018  cmin 10210  +crp 11776  abscabs 13908   lim climc 23532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cnp 20942  df-xms 22035  df-ms 22036  df-limc 23536
This theorem is referenced by:  reclimc  39286
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