MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 20060
Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z 0 = (0g𝑆)
ellspd.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspd.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
ellspd.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
ellspd (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝑁   𝑓,𝐾   𝑆,𝑓   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
2 ffn 6002 . . . . . 6 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 5967 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6152 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = (𝑁‘ran 𝐹))
6 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))
76rnmpt 5331 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))}
8 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
11 ellspd.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
12 ellspd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (Scalar‘𝑀))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 20058 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = (𝑁‘ran 𝐹))
187, 17syl5eqr 2669 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} = (𝑁‘ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2658 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))})
2019eleq2d 2684 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))}))
21 ovex 6632 . . . . . 6 (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 248 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3022 . . . 4 (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2625 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
2625rexbidv 3045 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
2724, 26elab3 3341 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))
28 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑀) ∈ V
2914, 28eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
30 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑆)
31 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
32 eqid 2621 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }
338, 30, 31, 32frlmbas 20018 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3429, 13, 33sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3534eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
3635rexeqdv 3134 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
37 breq1 4616 . . . . 5 (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 finSupp 0𝑓 finSupp 0 ))
3837rexrab 3352 . . . 4 (∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
3936, 38syl6bb 276 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
4027, 39syl5bb 272 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
4120, 40bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  𝑚 cmap 7802   finSupp cfsupp 8219  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890   freeLMod cfrlm 20009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lmhm 18941  df-lbs 18994  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-nzr 19177  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-uvc 20041
This theorem is referenced by:  elfilspd  20061  islindf4  20096
  Copyright terms: Public domain W3C validator