Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellz1 36214
Description: Membership in a lower set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ellz1 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem ellz1
StepHypRef Expression
1 eldif 3454 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 1))))
2 zltp1le 11166 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
32notbid 306 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
4 zre 11120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5 zre 11120 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
6 lenlt 9864 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
74, 5, 6syl2anr 493 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8 peano2z 11157 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9 eluz 11437 . . . . . 6 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
108, 9sylan 486 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
1110notbid 306 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 1)) ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
123, 7, 113bitr4rd 299 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 1)) ↔ 𝐴𝐵))
1312pm5.32da 670 . 2 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)))
141, 13syl5bb 270 1 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1938  cdif 3441   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  cr 9688  1c1 9690   + caddc 9692   < clt 9827  cle 9828  cz 11116  cuz 11423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424
This theorem is referenced by:  lzunuz  36215  fz1eqin  36216  lzenom  36217
  Copyright terms: Public domain W3C validator