MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmap 7928
Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1 𝐴 ∈ V
elmap.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elmap (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴)

Proof of Theorem elmap
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 elmap.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 elmapg 7912 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
41, 2, 3mp2an 708 1 (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 2030  Vcvv 3231  wf 5922  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901
This theorem is referenced by:  mapval2  7929  fvmptmap  7936  mapsn  7941  mapsnconst  7945  mapsncnv  7946  xpmapenlem  8168  pwfseqlem3  9520  tskcard  9641  ingru  9675  rpnnen1lem1  11853  rpnnen1lem3  11854  rpnnen1lem4  11855  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem1OLD  11859  rpnnen1lem3OLD  11860  rpnnen1lem4OLD  11861  rpnnen1lem5OLD  11862  facmapnn  13112  prmreclem2  15668  1arith  15678  vdwlem6  15737  vdwlem7  15738  vdwlem8  15739  vdwlem9  15740  vdwlem11  15742  vdwlem13  15744  prmgapprmo  15813  isfunc  16571  isfuncd  16572  idfucl  16588  cofucl  16595  funcres2b  16604  wunfunc  16606  catcfuccl  16806  funcestrcsetclem9  16835  ismhm  17384  symgval  17845  dfrhm2  18765  isabv  18867  psrelbas  19427  psraddcl  19431  psrmulcllem  19435  psrvscacl  19441  psr0cl  19442  psrnegcl  19444  psr1cl  19450  subrgpsr  19467  mvrf  19472  mplmon  19511  mplcoe1  19513  coe1fval3  19626  00ply1bas  19658  ply1plusgfvi  19660  coe1z  19681  coe1mul2  19687  coe1tm  19691  pjdm  20099  pjfval2  20101  pnrmopn  21195  distgp  21950  indistgp  21951  elovolm  23289  elovolmr  23290  ovolmge0  23291  ovolgelb  23294  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  ovoliunlem1  23316  ovoliunlem2  23317  ovolshftlem2  23324  ovolicc2  23336  ioombl1  23376  itg2seq  23554  coeeulem  24025  coeeq  24028  aannenlem1  24128  dvntaylp  24170  taylthlem1  24172  taylthlem2  24173  pserdvlem2  24227  lgamgulmlem6  24805  sqff1o  24953  isismt  25474  elee  25819  islno  27736  nmooval  27746  ajfval  27792  h2hcau  27964  h2hlm  27965  hcau  28169  hlimadd  28178  hhcms  28188  hlim0  28220  hhsscms  28264  pjmf1  28703  hosmval  28722  hommval  28723  hodmval  28724  hfsmval  28725  hfmmval  28726  elcnop  28844  ellnop  28845  elhmop  28860  hmopex  28862  nlfnval  28868  elcnfn  28869  ellnfn  28870  dmadjss  28874  dmadjop  28875  adjeu  28876  adjval  28877  hhcno  28891  hhcnf  28892  adjbdln  29070  isst  29200  ishst  29201  maprnin  29634  fpwrelmap  29636  fpwrelmapffs  29637  eulerpartleme  30553  eulerpartlemt  30561  eulerpartlemr  30564  eulerpartlemmf  30565  eulerpartlemgvv  30566  eulerpartlemgs2  30570  eulerpartlemn  30571  reprinfz1  30828  breprexplemb  30837  breprexpnat  30840  vtsval  30843  circlemethnat  30847  circlemethhgt  30849  mrsubff  31535  mrsubrn  31536  msubff  31553  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem17  33556  poimirlem20  33559  poimirlem24  33563  poimirlem25  33564  poimirlem29  33568  poimirlem30  33569  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  isrngohom  33894  islfl  34665  islpolN  37089  constmap  37593  mzpclall  37607  mzpf  37616  mzpindd  37626  mzpcompact2lem  37631  eldiophb  37637  mendring  38079  clsk1independent  38661  k0004lem3  38764  dvnprodlem3  40481  fourierdlem70  40711  fourierdlem102  40743  fourierdlem114  40755  etransclem35  40804  hoicvrrex  41091  ovnhoilem1  41136  ovnovollem2  41192  nnsum3primes4  42001  nnsum3primesprm  42003  ismgmhm  42108  aacllem  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator