Theorem elmapd 7816

Description: Deduction form of elmapg 7815. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 7815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 692	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1987  ⟶wf 5843  (class class class)co 6604   ↑_𝑚 cmap 7802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804

This theorem is referenced by:  elmapssres  7826  mapss  7844  ralxpmap  7851  mapen  8068  mapunen  8073  f1finf1o  8131  mapfienlem3  8256  mapfien  8257  cantnfs  8507  acni  8812  infmap2  8984  fin23lem32  9110  iundom2g  9306  wunf  9493  hashf1lem1  13177  hashf1lem2  13178  prdsplusg  16039  prdsmulr  16040  prdsvsca  16041  elsetchom  16652  setcco  16654  isga  17645  evls1sca  19607  mamures  20115  mat1dimmul  20201  1mavmul  20273  mdetunilem9  20345  cnpdis  21007  xkopjcn  21369  indishmph  21511  tsmsxplem2  21867  dchrfi  24880  fcobij  29340  mbfmcst  30099  1stmbfm  30100  2ndmbfm  30101  mbfmco  30104  sibfof  30180  mapco2g  36754  elmapresaun  36811  rfovcnvf1od  37777  fsovfd  37785  fsovcnvlem  37786  dssmapnvod  37793  clsk3nimkb  37817  ntrelmap  37902  clselmap  37904  k0004lem2  37925  elmapsnd  38867  mapss2  38868  unirnmap  38871  inmap  38872  difmapsn  38875  unirnmapsn  38877  dvnprodlem1  39464  fourierdlem14  39642  fourierdlem15  39643  fourierdlem81  39708  fourierdlem92  39719  rrnprjdstle  39825  subsaliuncllem  39879  hoidmvlelem3  40115  ovolval2lem  40161  ovolval4lem2  40168  ovolval5lem2  40171  ovnovollem1  40174  smfmullem4  40305  el0ldep  41540