Theorem elmapd 8037

Description: Deduction form of elmapg 8036. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8036	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 2139  ⟶wf 6045  (class class class)co 6813   ↑_𝑚 cmap 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025

This theorem is referenced by:  elmapssres  8048  mapss  8066  ralxpmap  8073  mapen  8289  mapunen  8294  f1finf1o  8352  mapfienlem3  8477  mapfien  8478  cantnfs  8736  acni  9058  infmap2  9232  fin23lem32  9358  iundom2g  9554  wunf  9741  hashf1lem1  13431  hashf1lem2  13432  prdsplusg  16320  prdsmulr  16321  prdsvsca  16322  elsetchom  16932  setcco  16934  isga  17924  evls1sca  19890  mamures  20398  mat1dimmul  20484  1mavmul  20556  mdetunilem9  20628  cnpdis  21299  xkopjcn  21661  indishmph  21803  tsmsxplem2  22158  dchrfi  25179  fcobij  29809  mbfmcst  30630  1stmbfm  30631  2ndmbfm  30632  mbfmco  30635  sibfof  30711  mapco2g  37779  elmapresaun  37836  rfovcnvf1od  38800  fsovfd  38808  fsovcnvlem  38809  dssmapnvod  38816  clsk3nimkb  38840  ntrelmap  38925  clselmap  38927  k0004lem2  38948  elmapsnd  39895  mapss2  39896  unirnmap  39899  inmap  39900  difmapsn  39903  unirnmapsn  39905  dvnprodlem1  40664  fourierdlem14  40841  fourierdlem15  40842  fourierdlem81  40907  fourierdlem92  40918  rrnprjdstle  41024  subsaliuncllem  41078  hoidmvlelem3  41317  ovolval2lem  41363  ovolval4lem2  41370  ovolval5lem2  41373  ovnovollem1  41376  smfmullem4  41507  el0ldep  42765