MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmapex 7830
Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapex (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex
StepHypRef Expression
1 n0i 3901 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → ¬ (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
2 fnmap 7816 . . . 4 𝑚 Fn (V × V)
3 fndm 5953 . . . 4 ( ↑𝑚 Fn (V × V) → dom ↑𝑚 = (V × V))
42, 3ax-mp 5 . . 3 dom ↑𝑚 = (V × V)
54ndmov 6778 . 2 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
61, 5nsyl2 142 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  c0 3896   × cxp 5077  dom cdm 5079   Fn wfn 5847  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-map 7811
This theorem is referenced by:  elmapi  7831  elmapssres  7834  mapsspm  7843  mapss  7852  ralxpmap  7859  mapdom1  8077  wemapwe  8546  isf34lem6  9154  mndvcl  20129  mndvass  20130  mndvlid  20131  mndvrid  20132  grpvlinv  20133  grpvrinv  20134  mhmvlin  20135  tposmap  20195  mapfzcons  36794  elmapresaun  36849  ovnhoilem2  40149
  Copyright terms: Public domain W3C validator