Theorem elmapfn 8423

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6509	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   Fn wfn 6344  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-map 8402

This theorem is referenced by:  mapxpen  8677  fsuppmapnn0fiublem  13352  fsuppmapnn0fiub  13353  fsuppmapnn0fiub0  13355  suppssfz  13356  fsuppmapnn0ub  13357  frlmbas  20893  frlmsslsp  20934  eqmat  21027  matplusgcell  21036  matsubgcell  21037  matvscacell  21039  cramerlem1  21290  tmdgsum  22697  fmptco1f1o  30372  islinds5  30927  ellspds  30928  lbsdiflsp0  31017  matmpo  31063  1smat1  31064  actfunsnf1o  31870  actfunsnrndisj  31871  reprinfz1  31888  unccur  34869  matunitlindflem1  34882  matunitlindflem2  34883  poimirlem4  34890  poimirlem5  34891  poimirlem6  34892  poimirlem7  34893  poimirlem10  34896  poimirlem11  34897  poimirlem12  34898  poimirlem16  34902  poimirlem19  34905  poimirlem29  34915  poimirlem30  34916  poimirlem31  34917  broucube  34920  rfovcnvf1od  40343  dssmapnvod  40359  dssmapntrcls  40471  k0004lem3  40492  unirnmap  41464  unirnmapsn  41470  ssmapsn  41472  dvnprodlem1  42224  dvnprodlem3  42226  rrxsnicc  42579  ioorrnopnlem  42583  ovnsubaddlem1  42846  hoiqssbllem1  42898  iccpartrn  43584  iccpartf  43585  iccpartnel  43592  mndpsuppss  44413  mndpfsupp  44418  dflinc2  44459  lincsum  44478  lincresunit2  44527  rrx2pnecoorneor  44696  rrx2linest  44723