Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmbfmvol2 30303
 Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 22545 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 20751 . . . . . 6 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4 retop 22546 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5 sssigagen 30182 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
73, 6sstri 3604 . . . 4 ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8 df-brsiga 30219 . . . 4 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
97, 8sseqtr4i 3630 . . 3 ran (,) ⊆ 𝔅
10 eqid 2620 . . . . 5 vol = vol
11 dmvlsiga 30166 . . . . . . 7 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12 elrnsiga 30163 . . . . . . 7 (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
1311, 12mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
14 brsigarn 30221 . . . . . . 7 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15 elrnsiga 30163 . . . . . . 7 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
1614, 15mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → 𝔅 ran sigAlgebra)
1713, 16ismbfm 30288 . . . . 5 (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol))
1918simprbi 480 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)
20 ssralv 3658 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝔅 → (∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
219, 19, 20mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)
2218simplbi 476 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol))
23 elmapi 7864 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24 unibrsiga 30223 . . . . 5 𝔅 = ℝ
25 unidmvol 23290 . . . . 5 dom vol = ℝ
2624, 25oveq12i 6647 . . . 4 ( 𝔅𝑚 dom vol) = (ℝ ↑𝑚 ℝ)
2723, 26eleq2s 2717 . . 3 (𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 ismbf 23378 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
2922, 27, 283syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
3021, 29mpbird 247 1 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909   ⊆ wss 3567  ∪ cuni 4427  ◡ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105   “ cima 5107  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↑𝑚 cmap 7842  ℝcr 9920  (,)cioo 12160  topGenctg 16079  Topctop 20679  TopBasesctb 20730  volcvol 23213  MblFncmbf 23364  sigAlgebracsiga 30144  sigaGencsigagen 30175  𝔅ℝcbrsiga 30218  MblFnMcmbfm 30286 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-topgen 16085  df-xmet 19720  df-met 19721  df-top 20680  df-bases 20731  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369  df-siga 30145  df-sigagen 30176  df-brsiga 30219  df-mbfm 30287 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator