MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmopn2 22190
Description: A defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
elmopn2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmopn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21elmopn 22187 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴))))
3 ssel2 3583 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑥𝐴) → 𝑥𝑋)
4 blssex 22172 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
53, 4sylan2 491 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝑥𝐴)) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
65anassrs 679 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
76ralbidva 2981 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
87pm5.32da 672 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
92, 8bitrd 268 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  wss 3560  ran crn 5085  cfv 5857  (class class class)co 6615  +crp 11792  ∞Metcxmt 19671  ballcbl 19673  MetOpencmopn 19676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-bases 20690
This theorem is referenced by:  metrest  22269  tgioo  22539  xrsmopn  22555  recld2  22557  tpr2rico  29782  dya2icoseg2  30163  opnrebl  32010  opnrebl2  32011
  Copyright terms: Public domain W3C validator