Theorem elnei 21713

Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property V_iii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem elnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 21712	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2	1	3adant2 1127	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
3		snssg 4711	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
4	3	3ad2ant2 1130	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
5	2, 4	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3936  {csn 4561  ‘cfv 6350  Topctop 21495  neicnei 21699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-top 21496  df-nei 21700

This theorem is referenced by:  gneispa  40473