Theorem elnn0uz 12277

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12274	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2904	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  0cc0 10531  ℕ₀cn0 11891  ℤ_≥cuz 12237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  12992  4fvwrd4  13021  2ffzeq  13022  elfzo0  13072  elfzonn0  13076  elfzom1elp1fzo  13098  cardfz  13332  nn0sinds  13351  hashfz0  13787  resunimafz0  13797  ffz0iswrd  13885  swrdccatin2  14085  pfxccatin12lem2  14087  pfxccatin12lem3  14088  cshwidxmod  14159  scshwfzeqfzo  14182  bcxmas  15184  mertenslem2  15235  risefacp1  15377  fallfacp1  15378  pwp1fsum  15736  bitsmod  15779  4sqlem19  16293  gsmsymgrfixlem1  18549  gsmsymgreqlem2  18553  efgsrel  18854  gsummptfzsplit  19046  gsummptfzsplitl  19047  pmatcollpw3fi  21387  cpmadugsumlemF  21478  wlkn0  27396  wlkp1lem8  27456  wlkp1  27457  spthonepeq  27527  crctcshwlkn0lem5  27586  crctcshwlkn0lem7  27588  wwlksnext  27665  clwwlkccatlem  27761  clwlkclwwlklem2a1  27764  clwlkclwwlkf1lem3  27778  clwwlkinwwlk  27812  clwwlkel  27819  clwwlkwwlksb  27827  wwlksext2clwwlk  27830  eupthp1  27989  sseqfn  31643  sseqf  31645  bccolsum  32966  knoppcnlem7  33833  knoppcnlem11  33837  knoppndvlem15  33860  frlmvscadiccat  39138  fltnltalem  39267  stoweidlem34  42312  1fzopredsuc  43517  subsubelfzo0  43519  iccpartgt  43580  iccpartleu  43581  iccpartgel  43582  fmtnorec2lem  43697  altgsumbcALT  44394  nn0sumshdiglemA  44672  nn0sumshdiglemB  44673