MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn1uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnn1uz2 11929
Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
elnn1uz2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))

Proof of Theorem elnn1uz2
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 11926 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
21orbi2i 542 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
3 exmidne 2930 . . 3 (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)
4 ordi 944 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)))
53, 4mpbiran2 992 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
6 1nn 11194 . . . . 5 1 ∈ ℕ
7 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
86, 7mpbiri 248 . . . 4 (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ)
9 pm2.621 423 . . . 4 ((𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 olc 398 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
1210, 11impbii 199 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
132, 5, 123bitrri 287 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  cfv 6037  1c1 10100  cn 11183  2c2 11233  cuz 11850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851
This theorem is referenced by:  indstr2  11931  fldiv4lem1div2  12803  relexpaddg  13963  dfphi2  15652  pc2dvds  15756  oddprmdvds  15780  prmreclem3  15795  4sqlem18  15839  vdwlem13  15870  efgs1b  18320  efgredlema  18324  ablfacrplem  18635  bposlem2  25180  ostthlem1  25486  ostth  25498  psgnfzto1stlem  30130  subfacval3  31449  jm2.23  38034  expdioph  38061  relexpaddss  38481  stirlinglem12  40774  fmtnofac1  41961  lighneallem2  42002  nn0o1gt2ALTV  42084  ztprmneprm  42604  nn0sumshdiglemB  42893
  Copyright terms: Public domain W3C validator