MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnp 9665
Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elnp (𝐴P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elnp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3184 . 2 (𝐴P𝐴 ∈ V)
2 pssss 3663 . . . 4 (𝐴Q𝐴Q)
3 nqex 9601 . . . . 5 Q ∈ V
43ssex 4725 . . . 4 (𝐴Q𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . 3 (𝐴Q𝐴 ∈ V)
65ad2antlr 758 . 2 (((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
7 psseq2 3656 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∅ ⊊ 𝑧 ↔ ∅ ⊊ 𝐴))
8 psseq1 3655 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧Q𝐴Q))
97, 8anbi12d 742 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((∅ ⊊ 𝑧𝑧Q) ↔ (∅ ⊊ 𝐴𝐴Q)))
10 eleq2 2676 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑦𝑧𝑦𝐴))
1110imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ↔ (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴)))
1211albidv 1835 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴)))
13 rexeq 3115 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦))
1412, 13anbi12d 742 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
1514raleqbi1dv 3122 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
169, 15anbi12d 742 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (((∅ ⊊ 𝑧𝑧Q) ∧ ∀𝑥𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦)) ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
17 df-np 9659 . . 3 P = {𝑧 ∣ ((∅ ⊊ 𝑧𝑧Q) ∧ ∀𝑥𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦))}
1816, 17elab2g 3321 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
191, 6, 18pm5.21nii 366 1 (𝐴P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  wpss 3540  c0 3873   class class class wbr 4577  Qcnq 9530   <Q cltq 9536  Pcnp 9537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-om 6935  df-ni 9550  df-nq 9590  df-np 9659
This theorem is referenced by:  genpcl  9686  nqpr  9692  ltexprlem5  9718  reclem2pr  9726  suplem1pr  9730
  Copyright terms: Public domain W3C validator