MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elom3 8718
Description: A simplification of elom 7233 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 7233 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
2 limom 7245 . . . . 5 Lim ω
3 omex 8713 . . . . . 6 ω ∈ V
4 limeq 5896 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5 eleq2 2828 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (𝐴𝑥𝐴 ∈ ω))
64, 5imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
73, 6spcv 3439 . . . . 5 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
82, 7mpi 20 . . . 4 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9 nnon 7236 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
108, 9syl 17 . . 3 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ On)
1110pm4.71ri 668 . 2 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
121, 11bitr4i 267 1 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wcel 2139  Oncon0 5884  Lim wlim 5885  ωcom 7230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-om 7231
This theorem is referenced by:  dfom4  8719  dfom5  8720
  Copyright terms: Public domain W3C validator