MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elom3 8489
Description: A simplification of elom 7015 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 7015 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
2 limom 7027 . . . . 5 Lim ω
3 omex 8484 . . . . . 6 ω ∈ V
4 limeq 5694 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5 eleq2 2687 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (𝐴𝑥𝐴 ∈ ω))
64, 5imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
73, 6spcv 3285 . . . . 5 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
82, 7mpi 20 . . . 4 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9 nnon 7018 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
108, 9syl 17 . . 3 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ On)
1110pm4.71ri 664 . 2 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
121, 11bitr4i 267 1 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  Oncon0 5682  Lim wlim 5683  ωcom 7012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-om 7013
This theorem is referenced by:  dfom4  8490  dfom5  8491
  Copyright terms: Public domain W3C validator