Theorem elorrvc 30653

Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
elorrvc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		orrvccel.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvdm 30636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
4	3	eleq2d 2716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ dom 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃))
5	4	biimprd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃 → 𝑧 ∈ dom 𝑋))
6	5	imdistani 726	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
7	1, 2	rrvfn 30635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn ∪ dom 𝑃)
8		fnfun 6026	. . . 4 ⊢ (𝑋 Fn ∪ dom 𝑃 → Fun 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
10		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	9, 2, 10	elorvc 30649	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))
12	6, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Probcprb 30597  rRndVarcrrv 30630  ∘_RV/𝑐corvc 30645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217  df-topgen 16151  df-top 20747  df-bases 20798  df-esum 30218  df-siga 30299  df-sigagen 30330  df-brsiga 30373  df-meas 30387  df-mbfm 30441  df-prob 30598  df-rrv 30631  df-orvc 30646

This theorem is referenced by: (None)