Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd 34562
 Description: Member of a projective subspace sum. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟,𝑞)   𝐵(𝑟,𝑞)   + (𝑟,𝑞)   (𝑟,𝑞)   (𝑟,𝑞)   𝑋(𝑟)

Proof of Theorem elpadd
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddval 34561 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}))
65eleq2d 2684 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ 𝑆 ∈ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)})))
7 elun 3731 . . 3 (𝑆 ∈ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋𝑌) ∨ 𝑆 ∈ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}))
8 elun 3731 . . . 4 (𝑆 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌))
9 breq1 4616 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑆 → (𝑝 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑞 𝑟)))
1092rexbidv 3050 . . . . 5 (𝑝 = 𝑆 → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
1110elrab 3346 . . . 4 (𝑆 ∈ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)} ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
128, 11orbi12i 543 . . 3 ((𝑆 ∈ (𝑋𝑌) ∨ 𝑆 ∈ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
137, 12bitri 264 . 2 (𝑆 ∈ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
146, 13syl6bb 276 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  {crab 2911   ∪ cun 3553   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  lecple 15869  joincjn 16865  Atomscatm 34027  +𝑃cpadd 34558 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-padd 34559 This theorem is referenced by:  elpaddn0  34563  elpadd0  34572  paddss1  34580  paddss2  34581  paddidm  34604  paddclN  34605  pmapjoin  34615
 Copyright terms: Public domain W3C validator