Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd0 33896
Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd0 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neanior 2873 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
21bicomi 212 . . 3 (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
32con1bii 344 . 2 (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4 eqid 2609 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2609 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7elpadd 33886 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9 rex0 3893 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10 rexeq 3115 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
119, 10mtbiri 315 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12 rex0 3893 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑞𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1413nrex 2982 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15 rexeq 3115 . . . . . . . . 9 (𝑌 = ∅ → (∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1615rexbidv 3033 . . . . . . . 8 (𝑌 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1714, 16mtbiri 315 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1811, 17jaoi 392 . . . . . 6 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1918intnand 952 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20 biorf 418 . . . . 5 (¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
22 orcom 400 . . . 4 (((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
2321, 22syl6rbb 275 . . 3 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
248, 23sylan9bb 731 . 2 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
253, 24sylan2b 490 1 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  lecple 15723  joincjn 16715  Atomscatm 33351  +𝑃cpadd 33882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-padd 33883
This theorem is referenced by:  paddval0  33897
  Copyright terms: Public domain W3C validator