Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd2at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd2at 34572
Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd2at ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2 1060 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑄𝐴)
32snssd 4309 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4 simp3 1061 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑅𝐴)
5 snnzg 4278 . . . 4 (𝑄𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
653ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
117, 8, 9, 10elpaddat 34570 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴𝑅𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
121, 3, 4, 6, 11syl31anc 1326 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
13 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1413breq2d 4625 . . . . 5 (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1514rexsng 4190 . . . 4 (𝑄𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
16153ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1716anbi2d 739 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅)) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
1812, 17bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  lecple 15869  joincjn 16865  Latclat 16966  Atomscatm 34030  +𝑃cpadd 34561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-lub 16895  df-join 16897  df-lat 16967  df-ats 34034  df-padd 34562
This theorem is referenced by:  elpadd2at2  34573
  Copyright terms: Public domain W3C validator