Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddatriN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddatriN 34566
Description: Condition implying membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 1-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddatriN (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))

Proof of Theorem elpaddatriN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1063 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑋𝐴)
3 simpl3 1064 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑄𝐴)
43snssd 4309 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5 simpr1 1065 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑅𝑋)
6 snidg 4177 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ {𝑄})
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑄 ∈ {𝑄})
8 simpr2 1066 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆𝐴)
9 simpr3 1067 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 (𝑅 𝑄))
10 paddfval.l . . 3 = (le‘𝐾)
11 paddfval.j . . 3 = (join‘𝐾)
12 paddfval.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 paddfval.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
1410, 11, 12, 13elpaddri 34565 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑄 ∈ {𝑄}) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
151, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 14syl322anc 1351 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  lecple 15869  joincjn 16865  Latclat 16966  Atomscatm 34027  +𝑃cpadd 34558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-lub 16895  df-join 16897  df-lat 16967  df-ats 34031  df-padd 34559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator