Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddri 35508
Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddri (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem elpaddri
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1220 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆𝐴)
2 simp2l 1218 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝑋)
3 simp2r 1219 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝑌)
4 simp3r 1221 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 (𝑄 𝑅))
5 oveq1 6772 . . . . 5 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑄 𝑟))
65breq2d 4772 . . . 4 (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑟)))
7 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 𝑟) = (𝑄 𝑅))
87breq2d 4772 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (𝑆 (𝑄 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
96, 8rspc2ev 3428 . . 3 ((𝑄𝑋𝑅𝑌𝑆 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
102, 3, 4, 9syl3anc 1439 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
11 ne0i 4029 . . . . . 6 (𝑄𝑋𝑋 ≠ ∅)
12 ne0i 4029 . . . . . 6 (𝑅𝑌𝑌 ≠ ∅)
1311, 12anim12i 591 . . . . 5 ((𝑄𝑋𝑅𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
1413anim2i 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌)) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
15143adant3 1124 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
16 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
17 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
18 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
2016, 17, 18, 19elpaddn0 35506 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
2115, 20syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
221, 10, 21mpbir2and 995 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wrex 3015  wss 3680  c0 4023   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  lecple 16071  joincjn 17066  Latclat 17167  Atomscatm 34970  +𝑃cpadd 35501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-lub 17096  df-join 17098  df-lat 17168  df-ats 34974  df-padd 35502
This theorem is referenced by:  elpaddatriN  35509  paddasslem8  35533  paddasslem12  35537  paddasslem13  35538  pmodlem1  35552  osumcllem5N  35666  pexmidlem2N  35677
  Copyright terms: Public domain W3C validator