Theorem elpi1 23651

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
elpi1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝑋   𝐵,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem elpi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		elpi1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		elpi1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		elpi1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6	1, 2, 3, 5	pi1bas2 23647	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
7	6	eleq2d 2900	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽))))
8		elex 3514	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) → 𝐹 ∈ V)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
10		fvex 6685	. . . . . . 7 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 8295	. . . . . . 7 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V
13	9, 12	eqeltrdi 2923	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
14	13	rexlimivw 3284	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
15		elqsg 8350	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
16	8, 14, 15	pm5.21nii 382	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
17	1, 2, 3, 5	pi1eluni 23648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
18		3anass 1091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
19	17, 18	syl6bb 289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌))))
20	19	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
21		anass 471	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
22	20, 21	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))))
23	22	rexbidv2 3297	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
24	16, 23	syl5bb 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
25	7, 24	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  Vcvv 3496  ∪ cuni 4840  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  [cec 8289   / cqs 8290  0cc0 10539  1c1 10540  Basecbs 16485  TopOnctopon 21520   Cn ccn 21834  IIcii 23485   ≃_phcphtpc 23575   π₁ cpi1 23609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-ec 8293  df-qs 8297  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-qus 16784  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-ii 23487  df-htpy 23576  df-phtpy 23577  df-phtpc 23598  df-om1 23612  df-pi1 23614

This theorem is referenced by:  elpi1i  23652  sconnpi1  32488