MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyd 23679
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elplyd.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
elplyd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
elplyd.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
elplyd (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem elplyd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 6096 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗)
2 nfcv 2750 . . . . . . 7 𝑘 ·
3 nfcv 2750 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑗)
41, 2, 3nfov 6553 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))
5 nfcv 2750 . . . . . 6 𝑗(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
6 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘))
7 oveq2 6535 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑧𝑗) = (𝑧𝑘))
86, 7oveq12d 6545 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
94, 5, 8cbvsumi 14221 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
10 elfznn0 12257 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 iftrue 4041 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
1312adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
14 elplyd.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
1513, 14eqeltrd 2687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆)
16 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1716fvmpt2 6185 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1811, 15, 17syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1918, 13eqtrd 2643 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
2019oveq1d 6542 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
2120sumeq2dv 14227 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
229, 21syl5eq 2655 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
2322mpteq2dv 4667 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
24 elplyd.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
25 0cnd 9889 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2625snssd 4280 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2724, 26unssd 3750 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
28 elplyd.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
29 elun1 3741 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3014, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3130adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
32 ssun2 3738 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
33 c0ex 9890 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3433snss 4258 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
3532, 34mpbir 219 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3731, 36ifclda 4069 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3837, 16fmptd 6277 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
39 elplyr 23678 . . . 4 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4027, 28, 38, 39syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4123, 40eqeltrrd 2688 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
42 plyun0 23674 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4341, 42syl6eleq 2697 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3537  wss 3539  ifcif 4035  {csn 4124  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792   · cmul 9797  0cn0 11139  ...cfz 12152  cexp 12677  Σcsu 14210  Polycply 23661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-sum 14211  df-ply 23665
This theorem is referenced by:  ply1term  23681  plyaddlem  23692  plymullem  23693  plycj  23754  dvply2g  23761  elqaalem3  23797  aareccl  23802  taylply2  23843  basellem2  24525  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator