MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyr 24176
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elplyr ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem elplyr
Dummy variables 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2 simp2 1132 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 simp3 1133 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
4 ssun1 3919 . . . . 5 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
5 fss 6217 . . . . 5 ((𝐴:ℕ0𝑆𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
63, 4, 5sylancl 697 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
7 0cnd 10245 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 0 ∈ ℂ)
87snssd 4485 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
91, 8unssd 3932 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10 cnex 10229 . . . . . 6 ℂ ∈ V
11 ssexg 4956 . . . . . 6 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
129, 10, 11sylancl 697 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13 nn0ex 11510 . . . . 5 0 ∈ V
14 elmapg 8038 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1512, 13, 14sylancl 697 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
166, 15mpbird 247 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
17 eqidd 2761 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
18 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
1918sumeq1d 14650 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
2019mpteq2dv 4897 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
2120eqeq2d 2770 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
22 fveq1 6352 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
2322oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2423sumeq2sdv 14654 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524mpteq2dv 4897 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
2625eqeq2d 2770 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2721, 26rspc2ev 3463 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
282, 16, 17, 27syl3anc 1477 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
29 elply 24170 . 2 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
301, 28, 29sylanbrc 701 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340  cun 3713  wss 3715  {csn 4321  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  cc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153  0cn0 11504  ...cfz 12539  cexp 13074  Σcsu 14635  Polycply 24159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-sum 14636  df-ply 24163
This theorem is referenced by:  elplyd  24177  plypf1  24187  elaa2lem  40971
  Copyright terms: Public domain W3C validator