MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyr 23706
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elplyr ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem elplyr
Dummy variables 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2 simp2 1054 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 simp3 1055 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
4 ssun1 3737 . . . . 5 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
5 fss 5955 . . . . 5 ((𝐴:ℕ0𝑆𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
63, 4, 5sylancl 692 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
7 0cnd 9890 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 0 ∈ ℂ)
87snssd 4280 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
91, 8unssd 3750 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10 cnex 9874 . . . . . 6 ℂ ∈ V
11 ssexg 4727 . . . . . 6 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
129, 10, 11sylancl 692 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13 nn0ex 11148 . . . . 5 0 ∈ V
14 elmapg 7735 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1512, 13, 14sylancl 692 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
166, 15mpbird 245 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
17 eqidd 2610 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
18 oveq2 6535 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
1918sumeq1d 14228 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
2019mpteq2dv 4667 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
2120eqeq2d 2619 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
22 fveq1 6087 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
2322oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2423sumeq2sdv 14231 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524mpteq2dv 4667 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
2625eqeq2d 2619 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2721, 26rspc2ev 3294 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
282, 16, 17, 27syl3anc 1317 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
29 elply 23700 . 2 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
301, 28, 29sylanbrc 694 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  Vcvv 3172  cun 3537  wss 3539  {csn 4124  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  cc 9791  0cc0 9793   · cmul 9798  0cn0 11142  ...cfz 12155  cexp 12680  Σcsu 14213  Polycply 23689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-seq 12622  df-sum 14214  df-ply 23693
This theorem is referenced by:  elplyd  23707  plypf1  23717  elaa2lem  38950
  Copyright terms: Public domain W3C validator