MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2 7833
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1 𝐴 ∈ V
elmap.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elpm2 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))

Proof of Theorem elpm2
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 elmap.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 elpm2g 7818 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
41, 2, 3mp2an 707 1 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  dom cdm 5074  wf 5843  (class class class)co 6604  pm cpm 7803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-pm 7805
This theorem is referenced by:  rlimf  14166  rlimss  14167  lo1f  14183  lo1dm  14184  o1f  14194  o1dm  14195  coapm  16642  pmltpclem2  23125  mbff  23300  limcrcl  23544  dvnres  23600  c1liplem1  23663  c1lip2  23665  ulmf2  24042  elbigof  41640  elbigodm  41641  elbigoimp  41642
  Copyright terms: Public domain W3C validator