MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2g 7834
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))

Proof of Theorem elpm2g
StepHypRef Expression
1 elpmg 7833 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
2 funssxp 6028 . 2 ((Fun 𝐹𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
31, 2syl6bb 276 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wss 3560   × cxp 5082  dom cdm 5084  Fun wfun 5851  wf 5853  (class class class)co 6615  pm cpm 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-pm 7820
This theorem is referenced by:  elpm2r  7835  elpmi  7836  elpm2  7849  lmcnp  21048  cmetcaulem  23026  mbfres  23351  dvbsss  23606  perfdvf  23607  dvnff  23626  dvnf  23630  dvnbss  23631  dvnadd  23632  cpnord  23638  mptelpm  38866  dvnprodlem3  39500  etransclem2  39790
  Copyright terms: Public domain W3C validator