Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpmapat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpmapat 34530
Description: Member of the projective map of an atom. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpmapat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))

Proof of Theorem elpmapat
StepHypRef Expression
1 pmapat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 pmapat.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
31, 2pmapat 34529 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑀𝑃) = {𝑃})
43eleq2d 2684 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀𝑃) ↔ 𝑋 ∈ {𝑃}))
5 elsn2g 4181 . . 3 (𝑃𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
65adantl 482 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
74, 6bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148  cfv 5847  Atomscatm 34030  HLchlt 34117  pmapcpmap 34263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-glb 16896  df-p0 16960  df-lat 16967  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-pmap 34270
This theorem is referenced by:  pmapjat1  34619
  Copyright terms: Public domain W3C validator