MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem3 24295
Description: Lemma for elqaa 24296. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
elqaa.4 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
elqaalem3 (𝜑𝐴 ∈ 𝔸)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem3
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqaa.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cnex 10229 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
4 elqaa.6 . . . . . . . . 9 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
5 fvex 6363 . . . . . . . . 9 (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ V
64, 5eqeltri 2835 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ V
76a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ V)
8 fvexd 6365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ V)
9 fconstmpt 5320 . . . . . . . 8 (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅)
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅))
11 elqaa.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
1211eldifad 3727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
13 plyf 24173 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1514feqmptd 6412 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
163, 7, 8, 10, 15offval2 7080 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹𝑧))))
17 fzfid 12986 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
18 nn0uz 11935 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
19 0zd 11601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
20 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
21 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑚))
2221oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵𝑘) · 𝑛) = ((𝐵𝑚) · 𝑛))
2322eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
2423rabbidv 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
2524infeq1d 8550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
26 elqaa.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
27 ltso 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ
2827infex 8566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
2925, 26, 28fvmpt 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
31 nnuz 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
3220, 31sseqtri 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1)
33 0z 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℤ
34 zq 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℚ
36 elqaa.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐵 = (coeff‘𝐹)
3736coef2 24206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
3812, 35, 37sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℚ)
3938ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℚ)
40 qmulz 12004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝑚) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
42 rabn0 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
4341, 42sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
44 infssuzcl 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4532, 43, 44sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4630, 45eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4720, 46sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ ℕ)
48 nnmulcl 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
5018, 19, 47, 49seqf 13036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
51 dgrcl 24208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
5212, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
5350, 52ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
544, 53syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
5554nncnd 11248 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
5655adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
57 elfznn0 12646 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
5836coef3 24207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
5912, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
6059adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
6160ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℂ)
62 expcl 13092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑚) ∈ ℂ)
6362adantll 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑚) ∈ ℂ)
6461, 63mulcld 10272 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) ∈ ℂ)
6557, 64sylan2 492 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) ∈ ℂ)
6617, 56, 65fsummulc2 14735 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
67 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
6836, 67coeid2 24214 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)))
6912, 68sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)))
7069oveq2d 6830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) = (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7156adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
7271, 61, 63mulassd 10275 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7357, 72sylan2 492 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7473sumeq2dv 14652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7566, 70, 743eqtr4d 2804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)))
7675mpteq2dva 4896 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))))
7716, 76eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))))
78 zsscn 11597 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
7978a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
8055adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
8147nncnd 11248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ ℂ)
8247nnne0d 11277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ≠ 0)
8380, 81, 82divcan2d 11015 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) = 𝑅)
8483oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚)))) = ((𝐵𝑚) · 𝑅))
8559ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℂ)
8680, 81, 82divcld 11013 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℂ)
8785, 81, 86mulassd 10275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) = ((𝐵𝑚) · ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚)))))
8880, 85mulcomd 10273 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = ((𝐵𝑚) · 𝑅))
8984, 87, 883eqtr4rd 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))))
9057, 89sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))))
91 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑁𝑚) → ((𝐵𝑚) · 𝑛) = ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)))
9291eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑁𝑚) → (((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
9392elrab 3504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁𝑚) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
9493simprbi 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
9546, 94syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
9657, 95sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
97 elqaa.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
98 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁𝑚))) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁𝑚)))
991, 11, 97, 36, 26, 4, 98elqaalem2 24294 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0)
10054adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑅 ∈ ℕ)
10157, 47sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁𝑚) ∈ ℕ)
102 nnre 11239 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
103 nnrp 12055 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑚) ∈ ℕ → (𝑁𝑚) ∈ ℝ+)
104 mod0 12889 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑚) ∈ ℝ+) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
105102, 103, 104syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝑚) ∈ ℕ) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
106100, 101, 105syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
10799, 106mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
10896, 107zmulcld 11700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) ∈ ℤ)
10990, 108eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) ∈ ℤ)
11079, 52, 109elplyd 24177 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))) ∈ (Poly‘ℤ))
11177, 110eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ))
112 eldifsn 4462 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
11311, 112sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
114113simprd 482 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
115 oveq1 6821 . . . . . . 7 (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = 0𝑝 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})))
11614ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
11754nnne0d 11277 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ≠ 0)
118117adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ≠ 0)
119116, 56, 118divcan3d 11018 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅) = (𝐹𝑧))
120119mpteq2dva 4896 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
121 ovexd 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) ∈ V)
1223, 121, 7, 16, 10offval2 7080 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅)))
123120, 122, 153eqtr4d 2804 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = 𝐹)
12455, 117div0d 11012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 / 𝑅) = 0)
125124mpteq2dv 4897 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
126 0cnd 10245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
127 df-0p 23656 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
128 fconstmpt 5320 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
129127, 128eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
130129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
1313, 126, 7, 130, 10offval2 7080 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)))
132125, 131, 1303eqtr4d 2804 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = 0𝑝)
133123, 132eqeq12d 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})) ↔ 𝐹 = 0𝑝))
134115, 133syl5ib 234 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
135134necon3d 2953 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝))
136114, 135mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝)
137 eldifsn 4462 . . . 4 (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝))
138111, 136, 137sylanbrc 701 . . 3 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
1396fconst 6252 . . . . . . 7 (ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅}
140 ffn 6206 . . . . . . 7 ((ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅} → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
141139, 140mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
142 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
14314, 142syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
144 inidm 3965 . . . . . 6 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1456fvconst2 6634 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
146145adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
14797adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) = 0)
148141, 143, 3, 3, 144, 146, 147ofval 7072 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
1491, 148mpdan 705 . . . 4 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
15055mul01d 10447 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · 0) = 0)
151149, 150eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0)
152 fveq1 6352 . . . . 5 (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) → (𝑓𝐴) = (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴))
153152eqeq1d 2762 . . . 4 (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0))
154153rspcev 3449 . . 3 ((((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
155138, 151, 154syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
156 elaa 24290 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
1571, 155, 156sylanbrc 701 1 (𝜑𝐴 ∈ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  cmpt 4881   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  𝑓 cof 7061  infcinf 8514  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   < clt 10286   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  cq 12001  +crp 12045  ...cfz 12539   mod cmo 12882  seqcseq 13015  cexp 13074  Σcsu 14635  0𝑝c0p 23655  Polycply 24159  coeffccoe 24161  degcdgr 24162  𝔸caa 24288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-0p 23656  df-ply 24163  df-coe 24165  df-dgr 24166  df-aa 24289
This theorem is referenced by:  elqaa  24296
  Copyright terms: Public domain W3C validator