MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop 21702
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
elqtop ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21qtopval2 21701 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽})
32eleq2d 2825 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽}))
4 imaeq2 5620 . . . . 5 (𝑠 = 𝐴 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝐴))
54eleq1d 2824 . . . 4 (𝑠 = 𝐴 → ((𝐹𝑠) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
65elrab 3504 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
7 uniexg 7120 . . . . . . . . 9 (𝐽𝑉 𝐽 ∈ V)
81, 7syl5eqel 2843 . . . . . . . 8 (𝐽𝑉𝑋 ∈ V)
983ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10 simp3 1133 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍𝑋)
119, 10ssexd 4957 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍 ∈ V)
12 simp2 1132 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝐹:𝑍onto𝑌)
13 fornex 7300 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐹:𝑍onto𝑌𝑌 ∈ V))
1411, 12, 13sylc 65 . . . . 5 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 elpw2g 4976 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1716anbi1d 743 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
186, 17syl5bb 272 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
193, 18bitrd 268 1 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715  𝒫 cpw 4302   cuni 4588  ccnv 5265  cima 5269  ontowfo 6047  (class class class)co 6813   qTop cqtop 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-qtop 16369
This theorem is referenced by:  qtoptop2  21704  elqtop2  21706  elqtop3  21708
  Copyright terms: Public domain W3C validator