MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrege0 12220
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 9984 . 2 0 ∈ ℝ
2 elicopnf 12211 . 2 (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  cle 10019  [,)cico 12119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ico 12123
This theorem is referenced by:  nn0rp0  12221  rge0ssre  12222  0e0icopnf  12224  ge0addcl  12226  ge0mulcl  12227  fsumge0  14454  fprodge0  14649  isabvd  18741  abvge0  18746  nmolb  22431  nmoge0  22435  nmoi  22442  icopnfcnv  22649  cphsqrtcl  22892  tchcph  22944  ovolfsf  23147  ovolmge0  23152  ovolunlem1a  23171  ovoliunlem1  23177  ovolicc2lem4  23195  ioombl1lem4  23236  uniioombllem2  23257  uniioombllem6  23262  0plef  23345  i1fpos  23379  mbfi1fseqlem1  23388  mbfi1fseqlem3  23390  mbfi1fseqlem4  23391  mbfi1fseqlem5  23392  mbfi1fseqlem6  23393  mbfi1flimlem  23395  itg2const  23413  itg2const2  23414  itg2mulclem  23419  itg2mulc  23420  itg2monolem1  23423  itg2mono  23426  itg2addlem  23431  itg2gt0  23433  itg2cnlem1  23434  itg2cnlem2  23435  itg2cn  23436  iblconst  23490  itgconst  23491  ibladdlem  23492  itgaddlem1  23495  iblabslem  23500  iblabs  23501  iblmulc2  23503  itgmulc2lem1  23504  bddmulibl  23511  itggt0  23514  itgcn  23515  dvge0  23673  dvle  23674  dvfsumrlim  23698  cxpcn3lem  24388  cxpcn3  24389  resqrtcn  24390  loglesqrt  24399  areaf  24588  areacl  24589  areage0  24590  rlimcnp3  24594  jensenlem2  24614  jensen  24615  amgmlem  24616  amgm  24617  dchrisumlem3  25080  dchrmusumlema  25082  dchrmusum2  25083  dchrvmasumlem2  25087  dchrvmasumiflem1  25090  dchrisum0lema  25103  dchrisum0lem1b  25104  dchrisum0lem1  25105  dchrisum0lem2  25107  axcontlem2  25745  axcontlem7  25750  axcontlem8  25751  axcontlem10  25753  rge0scvg  29774  esumpcvgval  29918  hasheuni  29925  esumcvg  29926  sibfof  30180  mbfposadd  33086  itg2addnclem2  33091  itg2addnclem3  33092  itg2addnc  33093  itg2gt0cn  33094  ibladdnclem  33095  itgaddnclem1  33097  iblabsnclem  33102  iblabsnc  33103  iblmulc2nc  33104  itgmulc2nclem1  33105  bddiblnc  33109  itggt0cn  33111  ftc1anclem3  33116  ftc1anclem4  33117  ftc1anclem5  33118  ftc1anclem6  33119  ftc1anclem7  33120  ftc1anclem8  33121  areacirclem2  33130  sge0iunmptlemfi  39934  digvalnn0  41682  nn0digval  41683  dignn0fr  41684  dig2nn1st  41688  digexp  41690
  Copyright terms: Public domain W3C validator