MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrest 16028
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 16027 . . 3 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐽t 𝐵) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)))
21eleq2d 2684 . 2 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))))
3 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))
4 vex 3193 . . . 4 𝑥 ∈ V
54inex1 4769 . . 3 (𝑥𝐵) ∈ V
63, 5elrnmpti 5346 . 2 (𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵))
72, 6syl6bb 276 1 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  cin 3559  cmpt 4683  ran crn 5085  (class class class)co 6615  t crest 16021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-rest 16023
This theorem is referenced by:  elrestr  16029  restsspw  16032  firest  16033  restbas  20902  restsn  20914  restcld  20916  restopnb  20919  ssrest  20920  neitr  20924  restntr  20926  cnrest2  21030  cnpresti  21032  cnprest  21033  cnprest2  21034  lmss  21042  cmpsublem  21142  cmpsub  21143  connsuba  21163  1stcrest  21196  subislly  21224  cldllycmp  21238  txrest  21374  trfbas2  21587  trfbas  21588  trfil2  21631  flimrest  21727  fclsrest  21768  cnextcn  21811  tsmssubm  21886  trust  21973  restutop  21981  restutopopn  21982  trcfilu  22038  metrest  22269  xrtgioo  22549  xrge0tsms  22577  icoopnst  22678  iocopnst  22679  subopnmbl  23312  mbfimaopn2  23364  xrlimcnp  24629  xrge0tsmsd  29612  bj-restsn  32725  bj-rest10  32731  bj-restn0  32733  bj-restpw  32735  bj-rest0  32736  bj-restb  32737  bj-restuni  32740  bj-restreg  32742  ptrest  33079  poimirlem29  33109  elrestd  38815  restuni3  38826  icccncfext  39435  subsaliuncl  39913  subsalsal  39914  sssmf  40284  incsmf  40288  decsmf  40312  smflimlem6  40321  smfco  40346  smfpimcc  40351
  Copyright terms: Public domain W3C validator