MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrest 15854
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 15853 . . 3 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐽t 𝐵) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)))
21eleq2d 2669 . 2 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))))
3 eqid 2606 . . 3 (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))
4 vex 3172 . . . 4 𝑥 ∈ V
54inex1 4719 . . 3 (𝑥𝐵) ∈ V
63, 5elrnmpti 5281 . 2 (𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵))
72, 6syl6bb 274 1 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2893  cin 3535  cmpt 4634  ran crn 5026  (class class class)co 6524  t crest 15847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-rest 15849
This theorem is referenced by:  elrestr  15855  restsspw  15858  firest  15859  restbas  20711  restsn  20723  restcld  20725  restopnb  20728  ssrest  20729  neitr  20733  restntr  20735  cnrest2  20839  cnpresti  20841  cnprest  20842  cnprest2  20843  lmss  20851  cmpsublem  20951  cmpsub  20952  consuba  20972  1stcrest  21005  subislly  21033  cldllycmp  21047  txrest  21183  trfbas2  21396  trfbas  21397  trfil2  21440  flimrest  21536  fclsrest  21577  cnextcn  21620  tsmssubm  21695  trust  21782  restutop  21790  restutopopn  21791  trcfilu  21847  metrest  22077  xrtgioo  22346  xrge0tsms  22374  icoopnst  22474  iocopnst  22475  subopnmbl  23092  mbfimaopn2  23144  xrlimcnp  24409  xrge0tsmsd  28919  bj-restsn  32016  bj-rest10  32022  bj-restn0  32024  bj-restpw  32026  bj-rest0  32027  bj-restb  32028  bj-restuni  32031  bj-restreg  32033  ptrest  32378  poimirlem29  32408  elrestd  38122  restuni3  38133  icccncfext  38574  subsaliuncl  39053  subsalsal  39054  sssmf  39426  incsmf  39430  decsmf  39454  smflimlem6  39463  smfco  39488
  Copyright terms: Public domain W3C validator