Theorem elrest 16693

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 16692	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2896	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2819	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3496	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 5212	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	syl6bb 289	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3137   ∩ cin 3933   ↦ cmpt 5137  ran crn 5549  (class class class)co 7148   ↾_t crest 16686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-rest 16688

This theorem is referenced by:  elrestr  16694  restsspw  16697  firest  16698  restbas  21758  restsn  21770  restcld  21772  restopnb  21775  ssrest  21776  neitr  21780  restntr  21782  cnrest2  21886  cnpresti  21888  cnprest  21889  cnprest2  21890  lmss  21898  cmpsublem  21999  cmpsub  22000  connsuba  22020  1stcrest  22053  subislly  22081  cldllycmp  22095  txrest  22231  trfbas2  22443  trfbas  22444  trfil2  22487  flimrest  22583  fclsrest  22624  cnextcn  22667  tsmssubm  22743  trust  22830  restutop  22838  restutopopn  22839  trcfilu  22895  metrest  23126  xrtgioo  23406  xrge0tsms  23434  icoopnst  23535  iocopnst  23536  subopnmbl  24197  mbfimaopn2  24250  xrlimcnp  25538  xrge0tsmsd  30685  bj-restsn  34365  bj-rest10  34371  bj-restn0  34373  bj-restpw  34375  bj-rest0  34376  bj-restb  34377  bj-restuni  34380  bj-restreg  34382  ptrest  34883  poimirlem29  34913  elrestd  41364  restuni3  41374  icccncfext  42159  subsaliuncl  42631  subsalsal  42632  sssmf  43005  incsmf  43009  decsmf  43033  smflimlem6  43042  smfco  43067  smfpimcc  43072