MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrnmpt 5280
Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
elrnmpt (𝐶𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2613 . . 3 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
21rexbidv 3033 . 2 (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵))
3 rnmpt.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43rnmpt 5279 . 2 ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
52, 4elab2g 3321 1 (𝐶𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  cmpt 4637  ran crn 5029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-cnv 5036  df-dm 5038  df-rn 5039
This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5281  onnseq  7306  oarec  7507  fifo  8199  infpwfien  8746  fin23lem38  9032  fin1a2lem13  9095  ac6num  9162  isercoll2  14196  iserodd  15327  gsumwspan  17155  odf1o2  17760  mplcoe5lem  19237  neitr  20742  ordtbas2  20753  ordtopn1  20756  ordtopn2  20757  pnfnei  20782  mnfnei  20783  pnrmcld  20904  2ndcomap  21019  dis2ndc  21021  ptpjopn  21173  fbasrn  21446  elfm  21509  rnelfmlem  21514  rnelfm  21515  fmfnfmlem3  21518  fmfnfmlem4  21519  fmfnfm  21520  ptcmplem2  21615  tsmsfbas  21689  ustuqtoplem  21801  utopsnneiplem  21809  utopsnnei  21811  utopreg  21814  fmucnd  21854  neipcfilu  21858  imasdsf1olem  21936  xpsdsval  21944  met1stc  22084  metustel  22113  metustsym  22118  metuel2  22128  metustbl  22129  restmetu  22133  xrtgioo  22365  minveclem3b  22952  uniioombllem3  23104  dvivth  23522  gausslemma2dlem1a  24835  acunirnmpt  28675  acunirnmpt2  28676  acunirnmpt2f  28677  locfinreflem  29069  ordtconlem1  29132  esumcst  29286  esumrnmpt2  29291  measdivcstOLD  29448  oms0  29520  omssubadd  29523  cvmsss2  30344  poimirlem16  32419  poimirlem19  32422  poimirlem24  32427  poimirlem27  32430  itg2addnclem2  32456  nelrnmpt  38107  suprnmpt  38174  rnmptpr  38177  elrnmptd  38185  rnmptssrn  38187  wessf1ornlem  38190  disjrnmpt2  38194  disjf1o  38197  disjinfi  38199  choicefi  38211  stoweidlem27  38744  stoweidlem31  38748  stoweidlem35  38752  stirlinglem5  38795  stirlinglem13  38803  fourierdlem53  38876  fourierdlem80  38903  fourierdlem93  38916  fourierdlem103  38926  fourierdlem104  38927  subsaliuncllem  39075  subsaliuncl  39076  sge0rnn0  39085  sge00  39093  fsumlesge0  39094  sge0tsms  39097  sge0cl  39098  sge0f1o  39099  sge0fsum  39104  sge0supre  39106  sge0rnbnd  39110  sge0pnffigt  39113  sge0lefi  39115  sge0ltfirp  39117  sge0resplit  39123  sge0split  39126  sge0reuz  39164  sge0reuzb  39165  hoidmvlelem2  39310
  Copyright terms: Public domain W3C validator